五.應數專題-羅大欽

Fractals & Chaos

1.蝴蝶效應:這是描述混沌效應最有名的一個名詞。六零年代麻省理工學院的氣象學家兼數學家勞倫茲(Edward Lorenz)教授，選擇了十幾條顯示出溫度、壓力、風速等氣象數值的方程式，在他自己的電腦裡創造了袖珍玩具般的天氣。有一天，發現僅是千分之一以下的誤差，對電腦裡的天氣來說，剛開始仍是跡近相同的兩個個案，但經過數個月後，逐漸差異越來越大，終至面目全非的地步。勞 倫茲說：「人們常覺得氣象的長期預報能辦得通的其中一個理由，是有些真實的物理現象我們可以預測得很好，像是日蝕、月蝕和海水潮汐，一般人看到我們既然能 夠在數月以前把潮汐預報得蠻好，會說為什麼天氣的誤報卻屢見不鮮，僅僅是另一套流體系統，規則的複雜也大同小異，但我開始理解，任何不能遵守週期性規矩的 系統皆難以預測。」

2.勞倫茲方程式(蝴蝶效應)

3.康特集合

4.sierpinski(碎型法則)
波蘭著名的數學家 Waclaw Sierpinski 於 1916 年提出了 Sierpinski Gasket 的圖形。
　　產生 Sierpinski Gasket 的方法如下：
　　第零步驟：畫出實心的正三角形
　　第一步驟：將三角形每一邊的中點連線，會分割成四個小正三角形，我們把中央的正三角形拿掉，會剩下其餘的三個正三角形
　　第二步驟：將每一個實心的小角形都重複第一步驟
　　第三步驟：重複第二步驟
　　接下來的步驟，即重複地疊代下去………………

















Sierpinski 後來又提出了 Sierpinski Carpet 的圖形。
　　產生 Sierpinski Carpet 的方法如下：
　　第零步驟：畫一個實心的正方形
　　第一步驟：將正方形分成相同的九個小正方形，我們把中央的正方形拿掉，會剩下其餘的
　　　　　　　八個正方形
　　第二步驟：將每一個實心的小正方形都重複第一步驟
　　第三步驟：重複第二步驟
　　接下來的步驟，即重複地疊代下去………………
















5.卡區曲線
卡曲曲線是由瑞典數學家范卡區(Helge von Koch)一 九零四年首創。先從一個正三角形開始，每一次做轉換把每邊中間的三分之一的區域再貼上一塊新的正三角形，邊長為本來的三分之一的三角形。卡區曲線自己和自 己不會碰撞在一起。另外，觀察它的每次變形，雖然增加了週邊上一些小三角形，但實際上包容的線面積仍是有所限制的，不會超過最原始三角型的外接圓。











6.碎型創作(碎型藝術)
碎形的概念，在1975年由數學家 Benoit B. Mandelbrot 提出。1977年，他在《碎形幾何學》一書中發表碎形理論，對「碎形的概念」下定義，開拓出研究非定形幾何學的新領域。「碎形」（fractal）一詞是 曼德布洛特所創造的，是根據拉丁語「fractus」〈殘碎物之意〉而來，也就是指斷片等不規則的圖形。碎形具有自相似性，「自相似性」是指某圖形的任意 部分經放大或縮小後，仍然可以展現出原來的型態，也就是指整體圖形和部分圖形都具有相似型態。所以將碎形圖形無限放大，將會出現與原來圖形極相似的形像。
碎形在應用的範圍上相當廣泛，包含美術、音樂、建築、天文等等範疇。舉例來說，在電腦圖片 的壓縮技術上就有加以運用。電腦上的圖片均是由點所組成，當電腦在儲存圖片時，若將每個點的資料記錄下來，則檔案就會很大，若只記住由點所構成大小不一的 相似處，則可以減少所需儲存的資料量。另外，在美術構圖上的應用、服裝設計、包裝設計、建築設計上，也都可以看到碎形概念的運用。
以下都是用軟體畫出來的碎型創作